Сущность задачи опубликована в журнале «Юны тэхнік-вынаходнік» [2], в котором его читателям предлагается принять участие в интеллектуальном творческом марафоне «Таланты ХХІ века» путем ответа на ряд интересных вопросов, в основном относящихся к проблемам математики.

            Одним из таких вопросов является пункт 3 «Магический квадрат» ([2], с.4). Раскрыть его тайну интересно не только учащимся старших классов, но и взрослым. Привожу еще раз текст этого вопроса дословно.

«В пустые клеточки (рис.1) впишите числа от 5 до 20 таким образом, чтобы сумма чисел в каждом столбце, каждом ряду и по диагоналям была равна 50. Рекорд по выполнению этого задания составляет всего 54 секунды!».

            Решая эту задачу в течение максимум 10 секунд легко и быстро определяются первые три числа: 20 – из

 Рис. 1 условия, что сумма по одной из диагоналей равна 50; далее цифра 6 во втором столбце; затем цифра 16 во втором ряду. Остальные числа мгновенно определить нельзя, и их значения обозначим через х1÷х7 (рис.2).

            Исходя из заданного условия задачи, составим систему линейных алгебраических уравнений.

х1+ х2 – 30=0;

х2+ х4+ х6 – 39=0;                                                              

х1+ х3 – 19=0;

Рис. 2

х1+ х4+ х7 – 44=0;

х3+ х4+ х5 – 30=0;

х6+ х7 – 27=0;

х5+ х7 – 29=0.

            Автором решение этой системы уравнений в статье [1] предложено выполнять путем компьютерного анализа их электронной модели на основе идеи, закрепленной авторским свидетельством на изобретение [2] и подробно рассмотренной в работе [3], в которой решен ряд новых интересных задач строительной механики.

            Понятие «модель» широко используется в различных областях науки и техники.

Модель отражает тот уровень знаний об изучаемом объекте, который на данный момент времени наиболее полно характеризует его. В зависимости от того, какие качества объекта требуется отразить в модели, можно создать для одного и того же объекта несколько видов моделей: логические, геометрические, физические, математические. Широкое распространение получили математические модели, которые строятся на основе определенной аналогии между явлениями совершенной различной физической природы, но записанными формально и внешне одинаковыми уравнениями.

Математическое моделирование на основе аналогий наиболее просто выполняется в той области, где проще всего осуществляется эксперимент. Трудно найти более подходящую для этих целей область, чем электротехника (да и электроника), обладающая достаточно несложными и надежными элементами электрической цепи. Из них собираются электрические (или электронные) модели, в которых распределение токов и напряжений описывается уравнениями, аналогичными уравнениям исследуемого объекта. Результаты электромоделирования с помощью выражений связи электрических и моделируемых величин распространяются на изучаемый объект. Внешне, конечно, эти модели не имеют даже отдаленного сходства с натурой, но в них, как в волшебном зеркале, отражаются внутренние закономерности моделируемого явления.

«Мысленные рассуждения произведены бывают из надежных и много раз повторенных опытов» – утверждал М.В. Ломоносов. Такие опыты удобно проводить именно с электрическими цепями – аналогами исследуемого объекта. Метод электронного моделирования обладает одним привлекательным качеством – универсальностью, что подтверждено автором в работе [3].

Для анализа синтезированной электронной модели исследуемого объекта автор предложил совершенно новое, не имеющее аналогов во всем мире направление в моделировании задач строительной механики и прикладной теории упругости. Его сущность состоит в следующем: в соответствии с уравнениями, характеризующими этот объект, синтезируется электронная модель, анализируемая далее с помощью пакета программ для расчета электронных цепей на ПЭВМ. В качестве такого пакета программ автор использовал известный во всем американский пакет PSPICE, подробно описанный в работе [5]. Некоторая характеристика этого пакета программ приведена в статье [1]. К книге [5] прилагается компакт-диск с рабочими версиями программы PSPICE.

            Любая электронная цепь состоит из совокупности элементов, предназначенных для прохождения электрического тока. Все синтезированные автором электронные модели [1,4] работают на постоянном токе. При их синтезе используются простейшие пассивные элементы – резисторы с сопротивлением R, проводимость которых равна g и конденсаторы, а также активные элементы – источники напряжения и тока. Такими источниками являются: Е – полиноминальный источник напряжения, управляемый напряжениями; Н – полиноминальный источник напряжения, управляемый токами; G – полиноминальный источник тока, управляемый напряжениями; F – полиноминальный источник тока, управляемый токами [4, с.17-23]. Наличие в электронной модели объекта таких полиноминальных источников напряжения и тока позволяет реализовывать сложные нелинейные зависимости между выходной величиной и несколькими входными в соответствии с таблицей, приведенной в работе [4, с.20,21]. В статье [1] использовались полиноминальные источники тока G. В данной статье для моделирования уравнений (1) используются полиноминальные источники напряжения Е и совершенно другие электронные схемы.

            Синтезируем электронную модель уравнений (1) с помощью электронной цепи на постоянном токе – она содержит резисторы с проводимостями – g и 2g , т.е. один резистор имеет отрицательное сопротивление, а второй – положительное. В электронной модели содержатся также неуправляемые источники тока Īi(i=1÷7) и управляемые полиноминальные источники напряжения Еi(i=1÷7). Синтезированная электронная модель уравнений (1) показана на рис.3. Отрабатываемые в узлах 1÷7 напряжения Ui (i=1÷7) эквивалентны искомым неизвестным Хi (i=1÷7).

            Уравнения электрического тока, характеризующие модель на рис.3, имеют следующий вид:

U1 (2g–g) –E1(–g)–Ī1=0; E1=U2; Ī1=30;

U2 (2g–g) –E2(–g) –Ī2=0; E2=U4+U6; Ī2=39;                                                                     (2)

U3 (2g–g) –E3(–g) –Ī3=0; E3=U1; Ī3=19;

U4 (2g–g) –E4(–g) –Ī4=0; E4=U1+U7; Ī4=44;

U5 (2g–g) –E5(–g) –Ī5=0; E5=U3+U4; Ī5=30;

U6 (2g–g) –-E6(–g) –Ī6=0; E6=U7; Ī6=27;

U7 (2g–g) –E7(–g) –Ī7=0; E7=U5; Ī7=29.

            В текстовый файл программы для расчета электронной цепи записывается следующая информация об управляемых полиноминальных источниках напряжения:

Е1        8 0       POLY (1) 2 0 0 1

Е2        9 0       POLY (2) 4 0 6 0 0 1 1;

Е3        10        0          POLY (1) 1 0 0 1;

Е4        11        0          POLY (2) 1 0 7 0 0 1 1;

Е5        12        0          POLY (2) 3 0 4 0 0 1 1;

Е6        13        0          POLY (1) 7 0 0 1;

Е7        14        0          POLY (1) 5 0 0 1.

Информация о величинах сопротивлений во всех семи схемах записывается из условия, что g=1, т.е. R1= –1, R2= 0,5: для первой схемы

R1 1 8 – 1, R2 1 0 0,5, для остальных шести схем аналогично.

            Эквивалентность уравнений (1) и (2) очевидна.

            После набора исходной информации об электронной модели на рис.3 в файл исходных данных компьютер решает задачу определения чисел магического квадрата практически мгновенно, что характеризует могучую силу пакета программ PSPICE.

            Как отмечено в статье [1], систему алгебраических уравнений (1) по раскрытию тайны магического квадрата можно, конечно, решить и другим способом. Основная цель данной статьи и статьи [1] – познакомить читателя с совершенно новым, не известным ему ранее направлением в моделировании различных математических задач.

            При решении данной задачи в поисках зерна истины можно было бы, конечно, пользуясь советами автора работы [6, с.5], вооружиться мощным техническим средством изучения объекта исследования – лупой – для оценки нюансов обсуждаемого вопроса, или, «с высоты птичьего полёта» обозреть многочисленные горы и долины в необъятной сфере на вечно зеленом ландшафте математики, чтобы найти то ущелье или пик, на котором уютно или временно – пока её оттуда не потеснили – разместилась исследуемая проблема. Не отвергая проверенные временем «лупу» и «высоту птичьего полёта» автор предлагает свой нетрадиционный подход к решению многих вопросов математики и механики (рассмотренных в работе [4]), основанный на компьютерном анализе электронных моделей исследуемых объектов.