Как известно, все конические сечения подразделяются на пять типов: а) окружность; б) треугольник; в) эллипс; в) гипербола и г) парабола. В принципе, все они достаточно широко изучены геометрической наукой и сомнений не вызывают. Но в проективной или начертательной геометрии, встречаются особые случаи сечения, когда сложные линии среза на чертеже выглядят упрощённо.
В работе исследованы две частные ситуации, складывающиеся при пересечении прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью.
Вариант А. Конус с диаметром основания D и высотой Н пересекается плоскостью g таким образом, что пересечёнными оказываются все образующие конуса (см. рис.1). Пространственной линией пересечения в этом случае является эллипс, конфигурация которого определяется соотношением его осей. В общем случае на горизонтальной и профильной проекциях этот эллипс также выглядит как эллипс.
В работе исследованы геометрические условия, при которых этот эллипс на проекции может превратиться в правильную окружность. Иными словами, требовалось определить, при каком угле a наклона плоскости g к основанию для конуса с заданными параметрами (D и Н) горизонтальная или профильная проекция превращается в окружность.
Графические эксперименты и расчёты показали, что на горизонтальной проекции окружность появляется лишь в случае, когда a = 0, то есть когда секущая плоскость оказывается параллельной основанию. А вот для профильной проекции для данного конуса существует единственный угол a, при котором обе оси эллипса становятся одинаковой длины и эллипс проецируется в виде окружности.
Была выведена формула для определения угла наклона секущей плоскости, при котором в сечении образуется эллипс, проецирующийся на профильную плоскость в виде правильной окружности. Величина этого угла зависит от соотношения размеров D и Н конуса. Правильность этой формулы проверена экспериментально.
Вариант В. Такой же прямой круговой конус, что и в предыдущей задаче, пересекается плоскостью g, проходящей через вершину конуса. В этом случае в сечении должен образоваться равнобедренный треугольник (см. рис.2).
В работе был проведен комплекс исследований параметров образующегося треугольника и его проекций. В частности, изучены ситуации, при которых:
При проведении исследований было установлено, что каждая из задач решается только в определённом диапазоне размерных соотношений конуса. Так, для задачи а) две боковые стороны треугольника изначально известны – они равны длине образующей конуса, а основание треугольника равно длине хорды, по которой секущая плоскость пересекает основание конуса. Значит, чтобы треугольник был равносторонним, длина этой хорды должна быть равной длине образующей, а это возможно, если диаметр основания конуса будет равен или больше длины образующей.
Для решения задачи на проекциях диапазон допустимых соотношений в размерах конуса вычисляется несколько сложнее, так как там длина образующей также искажается. Причем на профильной проекции это искажение отражается по-разному. Также как и вычисление количества необходимого бетона.
В результате исследований были определены диапазоны допустимых значений параметров D и Н конуса, а также выведены формулы для вычисления величины угла a (угол наклона секущей плоскости к оси вращения конуса), при котором выполняется то или иное условие задачи.
Проведенные исследования позволили их авторам глубже изучить соответствующие темы учебного курса, а их выводы и результаты могут быть использованы при решении прикладных технических задач, связанных с коническими сечениями.
Список использованных источников:
Авторы:
Варламова Т. А., Кухлевская В. С., Подрез А. А.
Резанко А. А. – старший преподаватель
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники